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第四次作业

习题五 3

(1) 单射
(3) 都不是
(5) 双射
(7) 都不是

习题五 6

证明

• \(f\subseteq g\Rightarrow \mathscr{D}(f)\subseteq\mathscr{D}(g)\Rightarrow\mathscr{D}(f)=\mathscr{D}(g)\).

  从而 \(\forall x\in \mathscr{D}(g),f(x)=g(x),\Rightarrow g\subseteq f,\Rightarrow g=f.\)

习题五 9

解:

• (1)
  $$
  \begin{array} {l}
  f\circ g=f(g(x))=f(x+2)=(x+2)^2-1=x^2+4x+3,\\ g\circ f=g(f(x))=g(x^2-1)=x^2+1.
  \end{array} $$
  (2) \(g\) 是双射, \(f,f\circ g,g\circ f\) 均不是.

习题五 10

解:

• (1) 取 \(f=(1234)\) 即 \(f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=1\).
  $$
  \begin{array} {c}
  f^2=(13)(24) \\ f^3=(4321) \\ f^{-1}=f^3 \\ f\circ f^{-1}=I_A
  \end{array}
  $$
  (2) 取 \(g=(12)(34)\), 即 \(g(1)=2,g(2)=1,g(3)=4,g(4)=3\).

习题五 11

解:

• $
  P^{-1}=\left(\begin{array} {c}
  123 \\ 231
  \end{array}\right)
  ,\quad
  P\circ P^{-1}=\left(\begin{array} {c}
  123 \\ 123
  \end{array}\right)
  $

习题五 12

解:

• (1) 不是, 因为 \(A\cap B \subseteq B\).
  (2) 是, 因为 \(A \subseteq B\cup A\).
  (3) 是, 因为 \(A\) 无穷那么存在可数集 \(C\subseteq A\), 又 \(C\backslash B\) 仍为可数集且 \(C\backslash B \subseteq A\backslash B\).